お楽しみ

このクイズに正解したかたにはプレゼントをさしあげたいと思います。
とりあえずこの次に正解したかたにはミニティッシュケース（琥珀）
をプレゼントします。

申し訳ありませんが、正解者が出ましたので
プレゼントは終了いたしました。

暇つぶしに解いてみたと言う人がいらっしゃたらお知らせ下さい。

ヒント　（考え方）

①この問題の答えは、普通の計算機では到底計算でき
　ない程の桁数になります。

　出来るならばどこかのサイトで、数百桁まで計算が可能な
　スーパー計算機をダウンロードして挑むと良いと思います。

②考え方ですが、まず男女それぞれに、１から１００までの
　番号を付けます。

　同じ番号の男女は兄弟だと考えてください。

　たとえば１番の男性は１番の女性と兄弟ですので、カップル
　になることが出来ません。

　よって、１番の男性は、２～１００番の女性とカップルになり
　ます。

③次に、求める問題の答え（１００組のカップルのパターン数）
　を、Aとしてして考えます。

　それとは別に、この問題が仮に９９組のカップルのパターン
　数だった場合、その答えをBとして考えましょう。

　同様に、９８組のカップルのパターン数だった場合の答えを
　Cとします。

④Aのパターン数を考えるにあたり、とりあえず一組、男女の
　カップルを作ってみましょう。

　たとえば、１番の男性と２番の女性がカップルになったと仮定
　します。

　このとき、残り男女それぞれ９９人のカップルのパターン数
　をＹとし考えます。

　Ｙのパターン数ですが、ここでは、１番の男性と２番の女性が
　カップルになったと仮定していますが、これがもし、１番の男性
　と３番の女性であったとしても、それ以外の組み合わせであっ
　たとしても、残りの男女それぞれ９９人のカップルのパターン数
　は変わりません。
　（パターン数が変わらない理由はまた後ほど触れます）

　これを数式に表したなら、Ａ＝９９Ｙとなることがわかるで
　しょうか？

　１番の男性から見たならば、１番以外の女性（２～１００番の
　女性）とカップルになることが可能で、その組み合わせは９９
　通りとなるからです。

　
⑤Ｙのパターン数をもう少し考えてみましょう。

　最初に、１番の男性と２番の女性がカップルになったと仮定
　していますので、ここでのＹは２～１００番の男性と、1及び
　３～１００番の女性、それぞれ９９人の男女の組み合わせと
　いうことになります。

　この時、２番の男性と１番の女性は少しラッキーです。
　
　なぜなら、残り９９人の異性のだれとでもカップルになること
　が出来るからです。

　対して３～１００番のそれぞれ男女は兄弟が１人含まれます
　ので、それ以外の９８人を選ばなければなりません。

　ようするに、一組カップルを仮定して考えた時、のこりの９９人
　の男女それぞれの中に少しラッキーな方（兄弟）が必ず一人
　づついることになります。

　よって、Ａ＝９９Ｙという式が成り立つのです。

⑥ここでＢとＹを比較してみましょう。

　Ｂは９９人の男女のカップルのパターン数です。
　男女共に兄弟が１人いるので、それ以外の９８人を選ばなけ
　ればなりません。

　Ｙも９９人の男女ですが、少しラッキーな男性と女性が１人づつ
　含まれています。

　したがってパターン数を考えた時、
　Ｙ＞Ｂということになります。

　これを等式に変えて見ましょう。
　ＹはＢよりαだけパターン数が多いとしてみます。

　ようするにＹ＝Ｂ＋α です。

⑦ここで今までの数式を整理してみましょう。

　最初にＡ＝９９Ｙという式がなりたつと説明しました。
　次にＹ＝Ｂ＋α、

　これを代入するとＡ＝９９（Ｂ＋α）となります。

⑧これまでの考え方をＢのパターン数を求める際にも
　応用してみましょう。

　Bの中で、一組カップルを作って、残りの男女９８人の
　パターン数をＺとします。
　
　Ｚのパターン数は、Ｃのパターン数よりβだけ多いと考え

　Ｂ＝９８（Ｃ＋β）　と数式を作って見ます。

⑨はたしてα、βとはどのような数値になるでしょうか？

　それが分ったときに１つの法則ができあがります。

　Ａの答えを導くにはＢの答えがわかること。
　Ｂの答えを導くにはＣの答えを求めること。

⑩ようするに、１００組のカップルの問題を解く為には、
　９９組のカップルの答えが必要となり、
　９９組のカップルの問題をとくには９８組の答えが必要・・

　と１つ前の答えを必要とする法則が出来上がります。
　そして、この法則にのっとり答えを導くことが出来ます。

⑪ヒントはここまでとします。
　最初に話したように、普通の電卓では答えをたたき出す
　ことはできません。

　私の場合は、Basicで計算式をたてられるスーパー計算機を
　使用しました。

⑫以上、健闘をいのります。

正解者が出ましたのでプレゼントは
終了いたしました。
しかし、なかなか難しく何年も正解者が出なかった
問題です。
是非チャレンジしてみてください。